Tính Bán Kính Mặt Cầu Ngoại Tiếp Hình Chóp

     

Bài viết hướng dẫn cách thức xác định trung khu và bán kính mặt ước ngoại tiếp hình chóp, kỹ năng và kiến thức và những ví dụ trong bài viết được tìm hiểu thêm từ những tài liệu nón – trụ – mong đăng tải trên tambour.vn.

Bạn đang xem: Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Phương pháp: Cách xác minh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:+ xác minh trục $d$ của mặt đường tròn ngoại tiếp nhiều giác đáy ($d$ là mặt đường thẳng vuông góc với đáy tại vai trung phong đường tròn ngoại tiếp nhiều giác đáy).+ xác minh mặt phẳng trung trực $left( p ight)$ của một lân cận (hoặc trục $Delta $ của của mặt đường tròn ngoại tiếp một đa giác của phương diện bên).+ Giao điểm $I$ của $left( p. ight)$ với $d$ (hoặc của $Delta $ và $d$) là trung ương mặt ước ngoại tiếp hình chóp.+ nửa đường kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là độ dài đoạn trực tiếp nối trọng tâm $I$ với cùng một đỉnh của hình chóp.

Nhận xét: Hình chóp gồm đáy hoặc những mặt bên là các đa giác ko nội tiếp được mặt đường tròn thì hình chóp kia không nội tiếp được khía cạnh cầu.

Ta xét một số dạng hình chóp thường chạm chán và cách xác minh tâm và bán kính mặt ước ngoại tiếp hình chóp đó.Dạng 1. Hình chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn thẳng $AB$ bên dưới một góc vuông.Phương pháp:+ Tâm: Trung điểm của đoạn trực tiếp $AB$.+ chào bán kính: $R=fracAB2$.

Ví dụ:• Hình chóp $S.ABC$ gồm đường cao $SA$, lòng $ABC$ là tam giác vuông trên $B.$

*

Ta tất cả $widehat SAC = widehat SBC = 90^o$, suy ra $A,B$ cùng chú ý $SC$ dưới một góc vuông. Khi đó, mặt ước ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ có:+ Tâm $I$ là trung điểm của $SC.$+ cung cấp kính: $R = fracSC2.$

• Hình chóp $S.ABCD$ gồm đường cao $SA$, lòng $ABCD$ là hình chữ nhật.

*

Ta có $widehat SAC = widehat SBC = widehat SDC = 90^o$, suy ra $A,B,D$ cùng nhìn $SC$ dưới một góc vuông. Khi đó, mặt ước ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ có:+ Tâm $I$ là trung điểm của $SC.$+ bán kính: $R = fracSC2.$

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $left( ABC ight)$ và $SC=2a$. Tính bán kính mặt ước ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

*

Ta có: $left{ eginarraylBC ot AB\BC ot SA left( SA ot left( ABC ight) ight)endarray ight.$ $ Rightarrow BC ot left( SAB ight)$ $ Rightarrow BC ot SB.$$SA ot left( ABC ight)$ $ Rightarrow SA ot AC.$Suy ra: nhị điểm $A$, $B$ cùng chú ý $SC$ bên dưới một góc vuông.Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là: $R = fracSC2 = a.$

Ví dụ 2: cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$là hình vuông vắn tại, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $left( ABCD ight)$ và $SC=2a$. Tính nửa đường kính mặt ước ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.

*

Ta có: $left{ eginarraylBC ot AB\BC ot SAendarray ight.$ $ Rightarrow BC ot left( SAB ight)$ $ Rightarrow BC ot SB.$Chứng minh giống như ta được: $CD ot SD.$$SA ot left( ABCD ight)$ $ Rightarrow SA ot AC.$Suy ra: bố điểm $A$, $B$, $D$ cùng quan sát $SC$ dưới một góc vuông.Vậy nửa đường kính mặt ước là $R=fracSC2=a.$

Dạng 2. Hình chóp đều.Phương pháp:• Hình chóp tam giác đều $S.ABC$:

*

• Hình chóp tứ giác hầu hết $S.ABCD$:

*

Gọi $O$ là tâm của đáy $Rightarrow SO$ là trục của mặt đường tròn nước ngoài tiếp nhiều giác đáy.Trong mặt phẳng xác định bởi $SO$ và một cạnh bên, chẳng hạn như $ extmpleft( SAO ight)$, ta vẽ đường trung trực của cạnh $SA$ và cắt $SO$ tại $I$ $Rightarrow I$ là chổ chính giữa của mặt cầu nước ngoài tiếp hình chóp.Ta có: $Delta SNI ∼ Delta SOA$ $ Rightarrow fracSNSO = fracSISA$, suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: $R = IS = fracSN.SASO = fracSA^22SO.$

Ví dụ 3: Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác số đông $S.ABC$, biết những cạnh đáy tất cả độ dài bằng $a$, sát bên $SA=asqrt3$.

*

Gọi $O$ là trung ương của tam giác những $ABC$, ta gồm $SOot left( ABC ight)$ đề xuất $SO$ là trục của con đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. điện thoại tư vấn $N$ là trung điểm của $SA$, vào $mpleft( SAO ight)$ kẻ trung trực của $SA$ cắt $SO$ trên $I$ thì $IS$ = $IA$ = $IB$ = $IC$ yêu cầu $I$ đó là tâm mặt ước ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$. Bán kính mặt ước là $R=SI$.Vì nhị tam giác $SNI$ và $SOA$ đồng dạng bắt buộc ta gồm $fracSNSO=fracSISA$.Suy ra $R=SI=fracSN.SASO$ $=fracSA^22SO=frac3asqrt68$.Mà $AO=frac23fracasqrt32=fracasqrt33$, $SO=sqrtSA^2-AO^2=frac2asqrt63$.Nên $R=SI=frac3asqrt68$.

Xem thêm: Ảnh Tạo Bởi Gương Cầu Lồi Có Tính Chất, Gương Cầu Lồi Là Gì

Ví dụ 4: Tính nửa đường kính của mặt mong ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều sở hữu cạnh đáy bởi $a$, kề bên bằng $2a$.

*

Gọi $O$ là trung ương đáy thì $SO$ là trục của hình vuông $ABCD$. Call $N$ là trung điểm của $SD$, vào $mp(SDO)$ kẻ trung trực của đoạn $SD$ giảm $SO$ trên $I$ thì $IS = IA = IB = IC = ID$ cần $I$ là trung khu của mặt mong ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$. Nửa đường kính mặt mong là $R=SI$.Ta có: $Delta SNI ∼ Delta SOD$ $ Rightarrow fracSNSO = fracSISD$ $ Rightarrow R = đắm đuối = fracSD.SNSO = fracSD^22SO.$Mà $SO^2 = SD^2 – OD^2$ $ = 4a^2 – fraca^22 = frac7a^22$ $ Rightarrow SO = fracasqrt 7 sqrt 2 .$Vậy $R = fracSD^22SO = frac2asqrt 14 7.$Dạng 3. Hình chóp có bên cạnh vuông góc với phương diện phẳng đáy.Phương pháp: Cho hình chóp $S.A_1A_2…A_n$ có cạnh mặt $SAot left( A_1A_2…A_n ight)$ và đáy $A_1A_2…A_n$ nội tiếp được vào đường tròn trung tâm $O$. Trung tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.A_1A_2…A_n$ được xác định như sau:+ Từ trung tâm $O$ ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng $d$ vuông góc với $mpleft( A_1A_2…A_n ight)$ tại $O$.+ trong $mpleft( d,SA_1 ight)$, ta dựng đường trung trực $Delta $ của cạnh $SA$, cắt $SA_1$ tại $N$, cắt $d$ tại $I$.+ khi đó: $I$ là vai trung phong mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính $R=IA_1=IA_2=…=IA_n=IS$.+ Tìm bán kính: Ta có: $MIOA_1$ là hình chữ nhật, xét $Delta MA_1I$ vuông tại $M$ có: $R = A_1I = sqrt MI^2 + MA_1^2 $ $ = sqrt A_1O^2 + left( fracSA_12 ight)^2 .$

*

Ví dụ 5: cho hình chóp $S.ABC$ gồm cạnh $SA$ vuông góc với đáy, $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, biết $AB=6a$, $AC=8a$, $SA=10a$. Tìm bán kính của mặt mong ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

*

Gọi $O$ là trung điểm của cạnh $BC$. Suy ra $O$ là trọng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ vuông tại $A$.Dựng trục $d$ của mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ABC$; trong khía cạnh phẳng $left( SA,d ight)$ vẽ trung trực cạnh $SA$ và cắt $d$ trên $I$.Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ và nửa đường kính $R=IA=IB=IC=IS$.Ta bao gồm tứ giác $NIOA$ là hình chữ nhật.Xét tam giác $NAI$ vuông tại $N$ có: $R = IA = sqrt NI^2 + NA^2 $ $ = sqrt AO^2 + left( fracSA2 ight)^2 $ $ = sqrt left( fracBC2 ight)^2 + left( fracSA2 ight)^2 $ $ = sqrt fracAB^2 + AC^24 + left( fracSA2 ight)^2 $ $ = 5asqrt 2 .$

Ví dụ 6: mang đến hình chóp $S.ABC$ bao gồm cạnh $SA$ vuông góc với đáy, $ABC$ là tam giác hầu hết cạnh bằng $a$, $SA=2a$. Tìm bán kính của mặt mong ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

*

Gọi $O$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Suy ra $O$ là tâm đường tròn nước ngoài tiếp tam giác đông đảo $ABC$.Dựng trục $d$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$; trong khía cạnh phẳng $left( SA,d ight)$ vẽ trung trực cạnh $SA$ và cắt $d$ trên $I$.Suy ra $I$ là trọng tâm mặt mong ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ và nửa đường kính $R=IA=IB=IC=IS$.Ta tất cả tứ giác $NIOA$ là hình chữ nhật.Xét tam giác $NAI$ vuông trên $N$ có: $R = IA = sqrt NI^2 + NA^2 $ $ = sqrt AO^2 + left( fracSA2 ight)^2 $ $ = sqrt left( frac23 cdot fracasqrt 3 2 ight)^2 + left( frac2a2 ight)^2 $ $ = frac2asqrt 3 3.$

Ví dụ 7: mang lại hình chóp $S.ABC$ gồm cạnh $SA$ vuông góc với đáy, $ABC$ là tam giác cân tại $A$ với $AB=a$, $widehatBAC=120^o $, $SA=2a$. Tính nửa đường kính của mặt mong ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

*

Gọi $O$ là trung khu đường tròn nước ngoài tiếp của tam giác $ABC$.Dựng trục $d$ của đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ABC$; trong phương diện phẳng $left( SA,d ight)$ vẽ trung trực cạnh $SA$ và cắt $d$ tại $I$.Suy ra $I$ là trung ương mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ và bán kính $R=IA=IB=IC=IS$.Mặt khác, ta có: $S_ABC = frac12AB.AC.sin A$ $ = fraca^2sqrt 3 4$ và $BC = sqrt AB^2 + AC^2 – 2AB.AC.cos mA $ $ = asqrt 3 .$$OA$ là nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $ABC$ nên $OA = fracAB.BC.CA4S_ABC = a.$Tứ giác $NIOA$ là hình chữ nhật đề xuất $NI=OA=a$.Xét tam giác $NAI$ vuông trên $N$ có: $R = IA = sqrt NI^2 + NA^2 $ $ = sqrt AO^2 + left( fracSA2 ight)^2 $ $ = sqrt a^2 + a^2 = asqrt 2 .$

Dạng 4. Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy.Đối với dạng toán này thì mặt bên vuông góc hay là tam giác vuông, tam giác cân nặng hoặc tam giác đều.Phương pháp:+ xác định trục $d$ của con đường tròn đáy.+ khẳng định trục $Delta $ của đường tròn nước ngoài tiếp mặt mặt vuông góc cùng với đáy.+ Giao điểm $I$ của $d$ với $Delta $ là vai trung phong mặt ước ngoại tiếp hình chóp.

*

Xét hình chóp $S.A_1A_2cdots A_n$ có mặt bên vuông góc với mặt đáy, ko mất tính quát mắng ta giả sử mặt bên $left( SA_1A_2 ight)$ vuông góc với mặt dưới và $Delta SA_1A_2$ là tam giác vuông hoặc tam giác cân nặng hoặc tam giác đều.Gọi $O_1$ với $O_2$ lần lượt là trung khu đường tròn nước ngoài tiếp đa giác $A_1A_2cdots A_n$ cùng tam giác $SA_1A_2$.Dựng $d$ cùng $Delta $ theo lần lượt là trục mặt đường tròn ngoại tiếp nhiều giác $A_1A_2cdots A_n$ và tam giác $SA_1A_2$.Gọi $I$ là giao điểm của $d$ với $Delta $ thì $I$ bí quyết đều các đỉnh $A_1$, $A_2$, …, $A_n$ và $S$ bắt buộc $I$ là trung khu mặt ước ngoại tiếp hình chóp $S.A_1A_2cdots A_n$.Ta có tứ giác $O_2IO_1H$ là hình chữ nhật; $SI=R$ là nửa đường kính mặt mong ngoại tiếp $S.A_1A_2cdots A_n$; $SO_2=R_b$ là nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giác $SA_1A_2$; $A_1O_1=R_đ$ là nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp đa giác $A_1A_2cdots A_n$.Tam giác $SO_2I$ vuông trên $O_2$ nên: $SI = sqrt SO_2^2 + O_2I^2 $ $ = sqrt SO_2^2 + O_1H^2 .$Tam giác $A_1O_1H$ vuông tại $H$ nên: $O_1H^2 = O_1A_1^2 – A_1H^2.$Do đó: $SI = sqrt SO_2^2 + O_1A_1^2 – A_1H^2 .$Mặt khác, trường hợp tam giác $SA_1A_2$ vuông trên $S$ thì $O_2equiv H$ cùng trùng cùng với trung điểm $A_1A_2$ hoặc $SA_1A_2$ là tam giác cân nặng tại $S$ hoặc đông đảo thì ta cũng có $H$ trùng với trung điểm $A_1A_2$ nên $A_1H=fracA_1A_22$.Suy ra $SI = sqrt SO_2^2 + O_1A_1^2 – left( fracA_1A_22 ight)^2 .$Hay $R = sqrt R_b^2 + R_đ^2 – fracpartial ^24 $, với $partial $ là độ lâu năm cạnh cạnh bình thường của mặt bên vuông góc với đáy.

Ví dụ 8: cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $A$. Mặt mặt $left( SAB ight)ot left( ABC ight)$ cùng $Delta SAB$ số đông cạnh bằng $1$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.

*

Gọi $H$, $M$ thứu tự là trung điểm của $AB$, $AC$.Ta có $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $Delta ABC$ (do $MA=MB=MC$).Dựng $d$ là trục con đường tròn nước ngoài tiếp $Delta ABC$ ($d$ qua $M$ và tuy vậy song $SH$).Gọi $G$ là trọng điểm đường tròn ngoại tiếp $Delta SAB$ cùng $Delta $ là trục con đường tròn nước ngoài tiếp $Delta SAB$, $Delta $ cắt $d$ trên $I$. Suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.Suy ra nửa đường kính $R=SI$. Xét $Delta SGI$, suy ra $SI=sqrtGI^2+SG^2$.Mà $SG=frac1sqrt3$; $GI=HM=frac12AC=frac12$.Nên $R=SI=sqrtfrac13+frac14=fracsqrt216$.

Xem thêm: Researchgate Là Gì - Quy Trình Để Công Bố Bài Báo Quốc Tế

Ví dụ 9: cho hình chóp $S.ABC$ tất cả đáy $ABC$ là tam giác rất nhiều cạnh bằng $1$, mặt mặt $SAB$ là tam giác đều và bên trong mặt phẳng vuông góc với khía cạnh phẳng đáy. Tính thể tích $V$ của khối mong ngoại tiếp hình chóp đã cho.

*

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ thì $SMot AB$ (vì tam giác $SAB$ đều). Phương diện khác vày $left( SAB ight)ot (ABC)$ đề nghị $SMot (ABC)$.Tương tự: $CMot (SAB)$.Gọi $G$ cùng $K$ thứu tự là tâm của những tam giác $ABC$ và $SAB$.Trong phương diện phẳng $(SMC)$, kẻ đường thẳng $Gx ext//SM$ với kẻ mặt đường thẳng $Kyot SM$.Gọi $O=Gxcap Ky$, thì ta có: $left{ eginarraylOG ot (SAB)\OK ot (ABC)endarray ight.$Suy ra $OG,OK$ lần lượt là trục của tam giác $ABC$ và $SAB$.Do kia ta có: $OA=OB=OC=OD=OS$ hay $O$ đó là tâm mặt mong ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.Tứ giác $OKMN$ là hình chữ nhật tất cả $MK=MG=fracsqrt36$ đề xuất $OKMN$ là hình vuông.Do kia $OK=fracsqrt36$.Mặt không giống $SK=fracsqrt33$. Xét tam giác $SKO$ vuông tại $K$ có $OS = sqrt OK^2 + SK^2 $ $ = sqrt frac336 + frac39 = fracsqrt 15 6.$Suy ra nửa đường kính mặt cầu bắt buộc tìm là $R=OS=fracsqrt156$. Vậy thể tích khối cầu phải tìm là:$V = frac43pi R^3$ $ = frac43pi .left( fracsqrt 15 6 ight)^3$ $ = frac5sqrt 15 pi 54.$