Identity matrix là gì

     
8 SEP 2018 • 11 mins read

Với số nguyên dương (n), tập hợp tất cả các ma trận kích cỡ (n imes n) được đóng bí mật dưới phép toán cộng và nhân, tạo ra thành một vành ko giao hoán. Định nghĩa phép toán và nhân ma trận không được kể ở đây.

Bạn đang xem: Identity matrix là gì

Transpose Matrix

Nếu đổi hàng thành cột, cột thành mặt hàng của ma trận A ta được ma trận gửi vị (aka transpose matrix), ký kết hiệu là (A^T)

Có thể minh chứng được rằng:

<(AB)^T = B^TA^T>

Determinant

Cho (A) là 1 trong những ma trận vuông kích thước (n imes n). Ma trận bé (submatrix) của (A) tương xứng với thành phần (a_i,j), ký kết hiệu là (M_i,j) được suy ra bằng cách bỏ hàng (i) và cột (j) trong ma trận (A). Định thức của ma trận này hotline là định thức bé (minor).

Định thức của (A), cam kết hiệu (vert Avert) được khái niệm đệ quy như sau:

nếu như (n = 1), (vert Avert = A_1, 1) trường hợp (n > 1),

(tự chọn mẫu (i) bất kỳ).

Biểu thức ((-1)^i+jvert M_i,jvert) còn được gọi là phụ đại số (cofactor) của bộ phận (a_i,j), ký kết hiệu (C_i,j). Như vậy, phương pháp tính định thức ma trận (A) có thể phát biểu gọn: “Định thức ma trận (A) bằng tổng các ‘tích phụ đại số với phần tử tương ứng’ trên một mặt hàng hoặc một cột bất kỳ.”

Tính chất

 (vert Avert = vert A^Tvert). Hệ quả: giả dụ một đặc thù đã đúng với hàng của định thức thì nó cũng giống với cột. Đổi khu vực hai loại (hoặc nhì cột) có tác dụng đổi vết định thức. Một định thức bao gồm dòng toàn số 0 thì bằng 0. Nhân các thành phần của một sản phẩm hoặc một cột với 1 hằng số (k) thì được định thức mới có giá trị bởi định thức cũ nhân cùng với (k). Tips: lúc 1 dòng / cột tất cả ước chung, ta rất có thể đưa ước chung đó ra ngoài dấu định thức. Cộng bội (k) của một hàng vào một trong những hàng khác giữ nguyên giá trị định thức. Nếu như (A) cùng (B) là nhị ma trận vuông cùng cấp, thì (vert ABvert = vert Avert vert Bvert)

Nếu (A) bao gồm dạng sau:

Ma trận tam giác trên: (eginbmatrix a_1,1 & a_1,2 và dots và a_1,n\ 0 và a_2,2 & dots và a_2,n \ vdots & vdots và ddots và vdots \ 0 và 0 & dots & a_n,n \ endbmatrix)

Ma trận tam giác dưới: (eginbmatrix a_1,1 & 0 & dots và 0\ a_2,1 & a_2,2 & dots & 0 \ vdots và vdots & ddots & vdots \ a_n,1 và a_n,2 & dots và a_n,n \ endbmatrix)

Thì (vert Avert = prod^n_i=1 a_i,i) (tích những số trên đường chéo cánh chính)

Như vậy, thường thì để tính định thức ta dùng các đặc điểm để biến hóa sang các định thức tương đương và đưa về ma trận tam giác rồi tính đến dễ.

Inverse Matrix

Identity Matrix

Ma trận 1-1 vị (thường cam kết hiệu là (I), aka identity matrix) là 1 trong ma trận vuông vào đó tất cả các số trên đường chéo chính bằng 1, các bộ phận còn lại bởi 0.

Cho (A) là một trong ma trận cùng cấp cho với (I), ta luôn có:

Invertible Matrix

Xét (A) là 1 ma trận vuông cấp (n), nếu như tồn trên một ma trận (B) cùng cấp làm sao để cho (AB = tía = I) thì (B) được điện thoại tư vấn là ma trận nghịch hòn đảo của (A). Thời điểm đó ta nói (A) khả đảo (inversible) với không suy biến (non-degenerate)

Adjugate Matrix

Ma trận phụ đại số:

với (C_i,j) là phụ đại số khớp ứng với thành phần (a_i,j) vào ma trận (A).

Ma trận (C^T) (ma trận chuyển vị của (C)) gọi là ma trận phối hợp (adjoint matrix).

Inverse Matrix

Ma trận nghịch hòn đảo của (A), ký hiệu (A^-1), được tính như sau:

Điều kiện cần với đủ nhằm tồn tại (A^-1) là (vert Avert eq 0)

Tính chất

Giả sử (A) và (B) là hai ma trận vuông cùng cung cấp (n) và khả đảo. Lúc đó:

Tích (AB) cũng khả đảo, cùng ((AB)^-1 = B^-1A^-1).  (A^-1) cũng khả đảo, cùng ((A^-1)^-1 = A).  (A^m) cũng khả đảo, với ((A^m)^-1 = (A^-1)^m).  (kA) cũng khả đảo ((k eq 0)), với ((kA)^-1=frac1kA^-1)

Linear System

Hệ phương trình tuyến đường tính là một hệ (m) phương trình đại số hàng đầu và (n) ẩn số:

giả dụ (m=n) ta gồm hệ vuông (square system) cùng với (n) phương trình (n) ẩn. Khi toàn bộ (b_i=0) ta có hệ phương trình thuần độc nhất (homogeneous system).

Hệ phương trình trên rất có thể được viết lại thành một phương trình giữa những ma trận: (Ax = b), với:

Nếu một hệ vuông bao gồm (vert Avert eq 0) thì hệ đó được gọi là hệ Cramer. Nghiệm duy nhất của hệ Cramer bằng:

Gauss-Jordan Elimination

Augmented Matrix

Ma trận bổ sung (augmented matrix) được hình thành bằng cách ghép (A) cùng (b) thành một ma trận mới bao gồm dạng:

>

Elementary Row Operations

Khi tiến hành các phép chuyển đổi sau lên ma trận (M) sẽ không còn làm chuyển đổi kết trái của hệ, gọi là phép thay đổi hàng sơ cấp:

Đổi chỗ hai hàng Nhân một sản phẩm với một trong những khác 0 cộng bội (k) của một hàng vào một trong những hàng khác

Giải hệ vuông

Phương pháp Gauss là cách thức giải hệ vuông bằng cách đưa (M) về dạng tam giác trên. Khi đó, hệ hoàn toàn có thể giải một cách đơn giản và dễ dàng từ (x_n) dần dần về (x_1).

Phương pháp Gauss-Jordan gồm sự khác hoàn toàn nhỏ: sau khoản thời gian đưa (M) về dạng tam giác trên, ta tiếp tục đưa nó về dạng ma trận solo vị.

Xem thêm:
Máu Chảy Trong Hệ Tuần Hoàn Kín Máu Chảy Dưới Áp Lực ? Máu Chảy Trong Hệ Tuần Hoàn Kín Như Thế Nào

Tìm ma trận nghịch đảo

Phương pháp tìm kiếm ma trận nghịch hòn đảo của (A):

Áp dụng phép biến hóa sơ cấp hàng lên (M) để mang ma trận bên trái về (I). Dịp này, ma trận bên đề nghị là (A^-1).

Hệ thuần nhất

Hệ thuần nhất luôn có nghiệm (x = <0 0 dots 0>^T). Nghiệm này hotline là nghiệm đều đều (trivial solution). Tuy nhiên bọn họ thường suy xét nghiệm không bình thường (non-trivial). Điều kiện yêu cầu và đủ nhằm hệ thuần nhất tất cả nghiệm không bình bình là (vert Avert =0). Bởi vì nếu (vert Avert eq 0) thì hệ đã có nghiệm duy nhất, với đó chỉ với nghiệm khoảng thường.

Rank

Ma trận vuông cấp cho (k) suy từ bỏ (A) bằng phương pháp bỏ đi (m-k) hàng và (n-k) cột điện thoại tư vấn là ma trận bé cấp (k) của (A). Định thức của ma trận này điện thoại tư vấn là định thức nhỏ cấp (k) của (A). Theo định nghĩa, hạng của (A), ký hiệu (mathrmrank(A)) hoặc ( ho(A)), là cấp cao nhất của một định thức con khác 0 vào (A).

Tuy nhiên vào thực hành họ hiếm khi áp dụng định nghĩa này nhằm tính hạng của ma trận. Nắm vào đó, ta dùng các phép biến hóa hàng sơ cấp lên (A) để mang nó về dạng bậc thang. Những phép thay đổi này ko làm đổi khác hạng của ma trận.

Ma trận cầu thang theo sản phẩm (row echelon form) được định nghĩa như sau:

các hàng khác 0 luôn luôn nằm trên hàng 0 giữa hai mặt hàng khác 0, thành phần đầu tiên khác 0 của sản phẩm (gọi là pivot) bên trên phải nằm bên cạnh trái so với bộ phận đầu tiên không giống 0 của mặt hàng dưới. các cột có chứa pivot được hotline là pivot column

Ví dụ:

<eginbmatrix extbf1 và 3 & 0 và 5 & -1\0 và extbf-4 và 2 & 3 và -1\0 & 0 & 0 và extbf8 & -6endbmatrix>

là một ma trận bậc thang

Tính chất:

Hạng của ma trận bậc thang ngay số dòng khác 0 của nó Mỗi sản phẩm (khác hàng 0) đều sở hữu một pivot

Kronecker - Capelli Theorem

Xét ma trận bổ sung (M = ) với hệ đường tính (m) phương trình (n) ẩn, viết gọn gàng là (Ax=b). Điều kiện buộc phải và đủ nhằm hệ tất cả nghiệm là:

< ho(A) = ho(M) = k>

Khi đó, nếu (k n).

Minh họa (giả sử (M) đang được đem về row echelon form):

 (k

Do số phương trình ít hơn số ẩn đề nghị hệ có vô số nghiệm. Tức là, sẽ có:

 (n-k) ẩn phụ, hay nói một cách khác là biến hòa bình (independent/free variable): bọn chúng đóng vai trò như tham số, với giá trị tự do, và  (k) ẩn chính, hay còn được gọi là biến nhờ vào (dependent variable): cực hiếm của chúng sẽ tiến hành tìm theo ẩn phụ.

Gọi (j_1, dots, j_n\) là những pivot column, lúc ấy (x_j_1, dots, x_j_n\) là những ẩn chính, và phần đa biến sót lại là ẩn phụ.

Nếu ta chuyển những ẩn phụ thanh lịch vế đề nghị và giữ các ẩn bao gồm vế trái, ta sẽ sở hữu một hệ con chính với (k) phương trình chính.

 (k = n), hệ đang cho tương đương với hệ sau:  (k > n) không xẩy ra vì hạng của một ma trận không lớn hơn số loại và số cột của nó.

Xem thêm: Giải Sbt Lý 10 Bài 6 - Giải Bt Bài 6 Trang 37 Sgk Vật Lý 10

Chú ý: lúc tìm hạng của (M), mặc dù các phép thay đổi cột cũng đến ra hiệu quả mong muốn, tuy vậy ma trận cầu thang cuối cùng rất có thể không sử dụng được mang đến hệ phương trình. Chính vì thế, cách tốt nhất có thể là chỉ sử dụng phép chuyển đổi sơ cấp cho hàng để mang (M) về dạng bậc thang, tóm lại hạng của (M), kết luận số nghiệm, áp dụng ma trận bậc thang tìm kiếm được để ra đời hệ phương trình bắt đầu (minh họa ở trên), cùng giải tra cứu nghiệm. Làm do vậy sẽ không tồn tại động tác quá trong quá trình làm bài.